危机资产是指具备未来收益能力的资产,比如股票之股息、债券之利息等等。但是,危机资产的未来收益是不确定的,否则,所有的投入者都会追求那些收益最高的资产,而放弃那些收益最低的资产。于是,在供求均衡的条件下,所有资产的收益将趋于一致。

(一) 不实行无危机借款时的投入组合

(1).投入于一种危机资产与一种无危机资产的组合

设某投入组合包含一种无危机资产（如无危机贷款）和一种危机资产。无危机资产的收益率为r_f，标准差为σ_f。危机资产的期望收益率为E(r_i)，标准差为σ_i，它在投入组合中所占的比重为w_i。危机资产与无危机资产的协方差为σ_if，相关系数为ρ_if。那么，该投入组合的期望收益率和方差分别为：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 − w_i)E(rf)

由于r_f为常数，σ_f = 0，且σ_if = E[r_i − E(r_i)][r_f − e(rf)] = 0，故：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 − w_i)r_f

σ_p = w_iσ_i

将代入E(r_p)的计算公式，可得：

在上式中，r_f、E(r_i)和σ_i都已知。这说明，此时投入组合的期望收益率E(r_p)与其标准差σ_p之间呈线性关系。由于，而且正常状况下危机资产的期望收益率E(r_i)应高于无危机资产的收益率r_f，因此，改变组合中危机资产和无危机资产的比例，按区别比例搭配构成的投入组合的集合将是如图1中的一条向上倾斜的直线段AB。

其中，A点表示组合中仅有无危机资产，A点的坐标为（0，r_f）。B点表示组合中仅有某种危机资产，B点的坐标为（σ_i，E(r_i)）。显然，直线段AB上所有的投入组合都是有效的，直线段AB就是由一种危机资产和一种无危机资产构成的投入组合的有效界面。

(2).投入于多种危机资产与一种无危机资产的组合

为简化问题，现在我们设想其中的每一个组合都被固定了下来。显然，这时集合中的每一个组合都相当于（或可以看作）一种期望收益率为E(r_i)、标准差为σ_i的危机资产。如果用其中的某一个组合和收益率为r_f的无危机资产按区别的比例构成一个新的投入组合的集合，那么这个新的投入组合的集合仍可以用一条直线段来体现。如图2所示，点A表示无危机资产，点D 是由多种危机资产构成的任一投入组合，连接点A和点D的直线段AD就表示由这一危机资产组合和无危机资产按区别的比例构成的各种新投入组合的集合。

现在我们来解析一下，在引入无危机资产之后，由无危机资产和多种危机资产构成的投入组合（简称新投入组合）的有效界面与原来仅有危机资产时的情形有何区别。为此，在图2中，我们仍用一个区域来表示多种危机资产构成的所有投入组合，并用点P表示这些危机资产的收益—方差界面上方差最小的证券组合 MVP。显然，在这些危机资产的有效界面P-E-K上我们总可以找到一点B，使得连接点A和点B的直线段AB刚好与危机资产的有效界面P-E-K相切于点 B。我们称点B所代表的投入组合为切点处的投入组合。它是危机资产的有效界面上一个非常特殊的投入组合。因为没有任何一种危机资产组合与无危机资产构成的新投入组合可以位于直线段AB的左上方，也就是说，直线段AB的斜率最大，直线段AB上的投入组合都是有效的。

与此相对应，另一个重要的事实是，在危机资产的有效界面P-E-K上，点B左下边的点所对应的投入组合不再是有效的。换句话说，曲线段P-C-B不再是新投入组合的有效界面的一部分。这是因为，对于曲线段P-C-B上的危机资产的任一有效组合而言，在期望收益率相等的状况下总可以在直线段AB上找到危机更小的投入组合；在危机相同的状况下也总可以在直线段AB上找到期望收益率更高的投入组合。于是，按照有效界面的定义，曲线段P-C-B上的投入组合不再是有效投入组合，而直线段AB上的投入组合都是有效的。这说明，当投入者可以同时投入于无危机资产和多种危机资产时，新投入组合的有效界面将由直线段AB和曲线段B-E-K构成，其中直线段AB代表点A对应的无危机资产和点B对应的危机资产组合以各种比例结合所构成的各种有效投入组合，而曲线段B-E-K则代表点B的右上方完全由危机资产所构成的各种有效投入组合。

(二) 存在无危机借款时的投入组合

在现实生活中，投入者往往可以借入资金并将其用于购买危机资产。由于借款必须支付利息，而利率是已知的，在该借款本息偿还上不存在不确定性，因此，我们可以把这种借款称为无危机借款。为简化起见，我们假定投入者可以按相同的利率实行无危机借款。

(1).无危机借款并投入于一种危机资产的情形

为了考察存在无危机借款时投入组合的有效界面，我们需要对前面的推导历程作适当的扩展。为此，我们只需把无危机借款看成负的无危机资产即可。仍设投入组合中危机资产所占的比重为w_i，则无危机借款所占的比重为(1 − w_i)，并且w_i > 1，1 − w_i < 0。按照同样的推导历程，我们仍然可以推导出下式成立：

这说明，此时投入组合的期望收益率E(r_p)与其标准差σ_p之间仍然呈线性关系。然而，由于此时，而且正常状况下危机资产的期望收益率E(r_i)应高于无危机借款的利率r_f，因此，此时投入组合的集合将表现为图1中直线段AB向右上方的延长线BZ（见图3）。显然，直线BZ上所有的投入组合都是有效的，直线BZ就是实行无危机借款并投入于一种危机资产时的有效界面。

(2).无危机借款并投入于多种危机资产的情形

同样地，实行无危机借款并投入于多种危机资产的组合时，其危机和期望收益率的关系与投入于一种无危机资产和多种危机资产的组合相似。这时由多种危机资产构成的每一种组合仍相当于（或可以看作）一种期望收益率为E(r_i)、标准差为σ_i的危机资产。如果以无危机利率r_f实行无危机借款（相当于负的无危机投入）并将其投入于这种危机资产组合，那么随着无危机借款在组合中比例的改变，各种投入组合的集合表现为图2中连接点A和点D的直线段AD向右边的延长线DN（见图4）。其中，点A表示无危机借款，点D是由多种危机资产构成的任一投入组合。

现在我们来解析一下，在实行无危机借款并投入于多种危机资产的情形下，其有效界面与仅用期初的财富投入于多种危机资产时的情形有何区别。

为此，在图4中，我们仍用一个区域来表示多种危机资产构成的所有投入组合，并用点P表示这些危机资产的收益—方差界面上方差最小的证券组合MVP。

那么，在这些危机资产的有效界面P-E-K上我们仍可以找到一点B，使得连接点A和点B的直线段AB刚好与危机资产的有效界面P-E-K相切于点B。直线段AB向右上方的延长线BZ就表示实行无危机借款并投入于点B所对应的危机资产组合的各种可能组合。

由于直线BZ上的所有投入组合都优于曲线段B-E-K（危机资产有效界面上点B右上边的部分）上的投入组合，于是，按照有效界面的定义，此时曲线段 B-E-K上的投入组合不再是有效投入组合，而直线BZ上的投入组合都是有效的。这说明，当投入者可以实行无危机借款并投入于多种危机资产时，新投入组合的有效界面将由曲线段PB和直线BZ构成，其中曲线段PB代表点B的左下方完全由危机资产所构成的各种有效投入组合，直线BZ代表实行无危机借款并投入于点B对应的危机资产组合所构成的各种有效投入组合。

总之，综合上面的讨论，我们不难得出如下结论：如果同时存在无危机资产和危机资产可供投入者选择，同时又允许无危机借款，那么各种资产组合的有效界面将变成一条直线，该直线经过代表无危机资产的点A并与危机资产组合的有效界面相切。换句话说，它也就是图2中的直线段AB和图4中的直线BZ两者一起构成的射线A-B-Z。其中，点B为切点。